What the bloody hell is "rotgradpsi"?

Aber nun zur Sache. Was ist rot grad ? Zu allererst ist rot grad immer null. Immer. Wir hätten diese Domain also auch "www.null.de" nennen können, aber erstens gibt es die schon und zweitens ist das natürlich nicht so hipp (auch wenn dann vielleicht auch einige Leute rein zufällig auf diese Seite gestoßen wären...).
Aber warum ist das so? Dazu klären wir zunächst mal die Begriffe ab, denn sonst verstehen Sie ja wirklich nur Bahnhof:
(x,y,z), (kurz: ) ist ein sogenanntes "skalares Feld", wie die Temperaturverteilung in einem Raum. Wenn Sie also nicht gerade beneidenswerterweise mit einem Notebook auf der grünen Wiese sitzen und per Handy munter rumsurfen, dann können Sie sich das skalare Feld (x,y,z) als die ortsabhängige Temperaturverteilung in Ihrem Raum ansehen: Dazu wählen Sie eine Zimmerecke Ihres Vertrauens als den Ursprung eines Koordinatensystems, am besten eine am Boden. Die drei von diesem Punkt aus losgehenden Raumkanten, also die zwei am Boden und die eine, die die Wand zur Decke hochläuft, bezeichnet man dann als "Achsen" und wir benennen Sie mit x, y und z und fertig ist Ihr Koordinatensystem (s. Bild 1), mit dem Sie jetzt jeden Punkt im Raum eindeutig bestimmen können.

Bild1: Zimmerecke als Koordinatensystem

Bild2: Weg zu Punkt H: 1m in x-Richtung, 0,1m in y-Richtung, 1,5m in z-Richtung.

Nun suchen Sie sich einen Punkt im Raum aus, etwa über der nächsten Heizung (diesen Punkt nennen wir von nun an "H", wie "Heizung"). Diesen können Sie jetzt in Abhängigkeit von Ihren drei Achsen bestimmen, indem Sie einfach die Strecke h vom Ursprung zu Ihrem Punkt in drei Komponenten zerlegen, die parallel zu den Achsen liegen (s. Bild 2). h nennt man einen "Vektor", eine sogenannte "gerichtete Größe", denn h hat ja eine Richtung und eine Länge(=Größe). Dann hört sich die Strecke h ungefähr so an: "Ich gehe 1 Meter in Richtung der Kante, die ich mit x bezeichnet habe, 0.1 Meter (also 10 cm) in Richtung der Kante, die ich mit y bezeichnet habe und etwa 1.5 Meter nach oben, also in Richtung der Kante z!" Das ist zwar nicht Luftlinie, also hätten Sie sich die Strecke h vielleicht anders vorgestellt, aber wir kommen zugegebenermaßen ans Ziel, also lassen wir es mal dabei! Nachdem wir alle wissen, dass es sich hier um Meter handelt, können wir uns diese Angabe getrost sparen und das ganze heißt jetzt: "1 in x-Richtung, 0.1 in y-Richtung, 1.5 in z-Richtung". Jetzt können wir noch vereinbaren, dass wir die Längenangabe in x-Richtung immer vor der in y-Richtung und die immer vor der in z-Richtung schreiben, dann brauchen wie das lästige "in x-Richtung" auch nicht mehr und meine Wegbeschreibung zum Punkt H lautet nun einfach (1, 0.1, 1.5). Na, kennen Sie diese Schreibweise irgendwoher? Ja, mit dieser komischen Klammerschreibweise hatten wir oben schon das (x,y,z) versehen. Nur, dass wir da noch nicht wussten, welchen Punkt wir anschauen, deshalb konnten wir für die x-, y- und z-Richtungen noch keine Werte angeben.
Genauso wir bei H können sie jetzt jeden beliebigen Punkt im Raum angeben, vielleicht versuchen Sie mal, den Standort Ihres Rechners in dieser Schreibweise wiederzugeben?
Wir hatten aber mal davon geredet, dass (x,y,z) die Temperaturverteilung in einem Raum wiedergibt. Lesen Sie statt doch einfach "Die Temperatur des Punktes", so dass dann für (h)=(1,0.1,1.5) herauskommt: "Die Temperatur des Punktes (1,0.1,1.5)", von dem wir wissen, dass er H heißt und über der Heizung liegt. ordnet also jedem Punkt im Raum, abhängig von seinem Aufenthaltsort, der durch seine drei Koordinaten bestimmt wird, einen Temperaturwert zu. Deshalb nennt man ein "skalares Feld" denn ordnet diesen Punkten, die durch Vektoren wie h definiert werden, einen skalaren Wert zu, wie zum Beispiel den Temperaturbetrag ("normale" Zahlen, wie man sie im täglichen Leben braucht, nennt man auch Skalare). Warum eigentlich dieser Aufwand mit "jedem einzelnen Punkt", ist das wirklich nötig? Nun, wenn Sie sagen, "Der Raum hat 21 Grad Celsius!", dann meinen Sie im allgemeinen den Mittelwert aller Temperaturen im Raum. Sie werden aber zugeben, dass der Punkt H, direkt über der Heizung wohl eine höhere Temperatur hat, als zum Beispiel der Punkt B mit den Koordinaten (1,1,0), also irgendwo am Fußboden, 0.9 Meter von der Heizung entfernt. Also ist abhängig vom Ort und deshalb schreibt man von (x,y,z) oder kurz (x,y,z).
Solche s, die irgendwelchen Orten irgendwelche Werte zuordnen, nennt man übrigens auch "Funktionen", in diesem Fall ist eine Funktion, die eben ein skalares Feld bildet. Sowas kennen Sie sicher aus der Schule, da hat man "f" genannt und f war meistens nur abhängig von einer Koordinate, meist x - deshalb hat man geschrieben f(x), jetzt endlich haben Sie verstanden, warum man das so schreibt - und hat auch dieser Koordinate einen Wert zugewiesen, den man meist als "y" bezeichnet hat. So weist die Funktin f(x)=2x dem Punkt mit der Koordinate (x) den Wert 2 mal x zu. Bei (h)=(1,0.1,1.5) könnte das beispielsweise der Wert 25 Grad Celsius sein.

Der nächste zu klärende Begriff in "rot grad " (wir arbeiten uns von hinten nach vorne) ist "grad". Dies ist die Abkürzung für "Gradient". Doch die Abkürzung "grad" macht eigentlich schon viel deutlicher, worum es hier geht, nämlich um den Grad (also die Stärke) der Veränderung der Funktion , also um den Grad der Veränderung der Temperaturverteilung in Ihrem Raum. Wenn Sie in Gedanken einmal durch Ihren Raum schweben, dann werden Sie ja, wie wir oben schon mal angedeutet haben, durch Bereiche mit unterschiedlicher Temperatur fliegen. Aber die Temperatur ändert sich ja nicht schlagartig, sondern die Temperatur in einem Bereich geht mehr oder weniger langsam in die Temperatur eines Nachbarbereiches über. Und da haben wir des Pudels Kern: Es ist manchmal nicht nur wichtig zu wissen, wie groß die Temperaturunterschiede zwischen zwei Bereichen sind, sondern auch, wie extrem der Temperaturübergang ist. Aber wie finde ich das raus? Nun, ich habe ja die Funktion (x,y,z), die mir für jeden Punkt im Raum verrät, wie hoch die Temperatur dort ist. Ich muss nur die x-, y- und z-Werte des Punktes in (x,y,z) eintragen und rechne, rechne, gibt mir die Funktion (x,y,z) die Antwort, also den Temperaturwert dieses Punktes. Wenn ich aber die Temperatur jedes Punktes ausrechnen kann, dann muss ich daraus ja auch rausfinden können, wie stark der Übergang der Temperaturen ist, schließlich weiß ich alles über die Temperaturen in diesem Raum! Das kann man auch, man muss sie sich diese Information nur auf geeignetem Wege holen. Und das macht man mit dem sogenannten "Nabla Operator". Das ist sozusagen eine mathematische Maschine, die ich auf die Funktion loslasse und mir als Ergebnis nicht mehr den Temperaturwert eines Punktes, sondern den Wert und die Richtung der größten Temperaturänderung, die von diesm Punkt ausgeht, anzeigt. Auf gut Deutsch sagt die Nabla-Maschine: "Nach da hinten links ändert sich die Temperatur am stärksten, und zwar um soundsoviel Grad Celsius pro Meter!" Und statt "Ich lasse die Nabla-Maschine auf die Funktion los, und gucke wo der Temperaturunterschied zu meinem Punkt am größten ist!", schreibt man einfach "Gradient von " oder eben "grad ".
Aber Vorsicht! Bei der Größe grad (x,y,z) handelt es sich nicht mehr um einen skalaren Wert, wie die Temperatur! Vielmehr ist der Gradient wieder eine "gerichtete Größe", also ein Vektor, denn er gibt mir ja die Richtung und den Grad der größten Temperaturveränderung im Punkt (x,y,z). Das klingt jetzt etwas kompliziert, ist es aber eigentlich nicht. Wenn Sie sich vorher ein skalares Feld vorgestellt haben, bei dem jedem Punkt ein Wert zugeordnet wird, dann stellen Sie sich jetzt ein Vektorfeld vor, denn jedem Punkt im Raum wird wieder ein Vektor zugeordnet. Einen Vektor (wie Sie in Bild 2 sahen) stellt man ja durch einen kleinen Pfeil im Koordinatensystem dar, der in diesem Falle in die Richtung der größten Temperaturveränderung zeigt und genauso lang ist, wie der Temperaturanstieg pro Meter groß ist. So ein Vektorfeld ist also ein igelig-stacheliges Objekt, denn von jedem Punkt im Raum geht jetzt wieder so ein Pfeil weg.

Bild3: Hier gehen die Vektoren geradewegs vom Koordinatenursprung weg; es gibt keine Rotation.

Bild4: Ein igeliges Vektorfeld, der Einfachheit halber zweidimensional. Dieses Feld besitzt offensichtlich soetwas wie "Rotation".

Aber was heißt "rot"? Es hat keineswegs etwas mit der Farbe Rot zu tun, sondern es ist vielmehr auch eine Abürzung und zwar für "Rotation", deshalb spricht man "rot" auch nicht wie die Farbe, sondern eher wie "rott", also mit kurzem "o". Aber was hat unser Raum mit der Temperaturverteilung mit einer Rotation zu tun? Dreht sich da was? Nun, wir hatten ja eben gesehen, dass grad ein igelig-stacheliges Vektorfeld in Ihrem Raum ist. Und die Pfeile zeigen in alle mögliche Richtungen. Manchmal ist es aber interessant zu wissen, ob die Pfeile mehr vom Koordinatenursprung (Ihre Zimmerecke!) weg-, bzw. zum Koordinatenursprung hinzeigen, oder vielleicht nach links oder rechts oder nach oben oder unten. Ist letzteres der Fall, dann spricht man von "Rotation" des Vektorfeldes, denn im gewissen Sinne dreht sich ja das Feld um den Ursprung (s. Bild 3 und 4). Und "rot" ist wieder die Abkürzung für einen "Rotationsoperator", wieder eine mathematische Maschine, mit der ich rausfinde, ob sich ein Vektorfeld dreht. Nun ist es aber so, dass sich das Vektorfeld grad niemals dreht, wenn ein natürliches Feld, wie zum Beispiel das Erdanziehungsfeld oder eine Temperaturverteilung ist. Deshalb ist die Rotation von grad immer gleich null, also rot grad immer null. So einfach ist das!